从“数学思考”走向“哲学思维”口☆口口☆口

  从“数学思考”走向“哲学思维” 摘要:图形思口考是口数学抽象□☆□☆、数学推理□□□☆、数学模型等基口本数口学思想的集中反映□☆□☆☆,是最具数学特色的思维方式□□☆☆□。《数与形》是综合运用知识经验进行问题解决发展数学思口考的一节应用实践课□□☆。本案例设口计的系列教学环节☆□□☆,试图借助图形直观感受数与形之间的联系☆☆□,把图形不仅作为一种数学语言☆☆□□、数学工具☆□□☆☆,同时口更作为一种数学方法□☆□☆☆、数学思维方式□☆☆☆□,以帮助学生直观地理解☆□☆☆□、分析和口口解决问题☆□☆□□,在感悟数形结合思想的过程中☆□□□□,体会數与形作为一种存在方式和表现方式☆☆☆☆,既是数学的□☆□□☆,也是世界口的□☆□☆。关键词:数与形数形结合思想数学思考哲学口思维数与形是人教版小学数口学六年级上册口教材第八单元数学广角的新增部分☆□☆□☆,学习内容相对独立☆□□☆,思维性也比较口强□□□☆。教材分两个口例题进行编排☆□☆□☆,例1是发现图形中隐含着数口的规律☆□☆☆,利用数的规律解决图形的问题□□☆,是用数来解口决形的问题☆☆☆。例2是利用图形直观地解释一些比较抽象的数学原理☆☆□、事实和思想□□□,是用形来解决口数的问题□□□□。例2试图通过口一道特殊的分数加法的计算☆□☆☆□,让学生进一步体会数与形之间的内在联系□□☆,借助形沟通加法与减法的关系及理解无限接近1☆□□□☆,并能把数形结合的思想迁移到解口决一些实际问题☆□☆☆☆,培养几何直观□□☆☆,发展数学思口口口考☆☆☆,帮助学生积累思维活动经验☆☆☆□。学生对于结合形来分析问口题有一定的零散经验☆□□□☆,如在口第一学段要求学生通过观口察形□☆□☆,发现其中的一些规律□☆☆,并解决简单口的口问题☆□☆☆。另外□□☆□,在课堂学习中也曾运用图形解释抽象的数学原口理和事实的情况☆☆☆,如利口用口小口棒☆☆□☆☆、计数口器模型来认识抽象口的口数☆□□□☆,利用点子图来理解整数乘法的算理□□☆,借助线段图来理解分数除法的算理□☆☆,借助面口口积模型来解释分数乘法口的算理□□□、运算律等□☆☆,这是本课教口学的起点☆□□。但以传统的教学审视□□□□☆,例2以及后面编排的几道习题都属于思维训练题甚至数学竞赛题☆☆□,是供学口有余力的学生学习的☆☆□☆□,对普通学生来说要求相对偏高☆□☆。一☆☆□☆、课前调口口口研课前□□☆□,笔者口调查了一个班的40名口学生☆☆☆□,调查内容为:0.9+0.09+0.009+口口&h口elli口p;&h口ellip;=☆☆□☆?请用你喜欢的方口式解释结口口果□□□。前测数据口显示☆☆□☆,认为结口果是0.999&he口llip;…的学生口占62.5%☆☆□,认为结果是口1或无限接近于1的学生占30%☆□☆,认为结果无法口表示或口不会解答的学生占7.5%☆□□□☆。其中☆☆□☆,仅有口15%的学生能够主动联想到运用图口形(口长方形或正方形面积模型□☆☆☆☆、线段长度模型)对运算的过程口与结果做出合理性解释☆□□。这表明☆□□,大部口分学生没口有口主动运用图形口来描述☆☆□□□、分析和解决问口口题的意识□□☆,没有体会到将图形应用于数学思考的价值☆□□☆。根据以往的教学口经验□□□☆,学生学习本课的最大难点是为什么12+14+18+116+口132+164+……结果无限趋口近于1或者就是1☆□□☆□,学生对于极限思口想的体会是个很重要的思维卡点☆□□☆。另一个难点是□□☆,学生很难想到借助形沟通加法与减法的关口系及理解无限接近1☆□□□☆,这种几何直观的数学思考是学生需要跨越的一个障碍☆□☆。二☆□☆□□、教学目标口基于口教学内口容分析及课前口调研☆□□□□,笔者确定了如下教学口目标:1.在解决数的问题情口境中□□☆□,借助形(面积模型□☆□□□、线段图等)口来口直观感受与数之间的口关系□☆☆☆□,体会有时口口形与数能互相解释□□☆☆□,并能借助口形解决一些与数相关的问题☆□□☆。2.经历运用数与形结合来分析口思考数学问题口的过程□□☆,在观察&m口口da口sh;猜想&md口ash;关联&mda口sh;操作—论证&m口dash;归纳口等数学活动中□☆☆☆,通过撬动数与形的关系链接发展数学思考□☆☆,感悟数形结口口合的思想方法☆□□☆□,提高问题解决的能力□□□□☆。3.感悟数形结合的口口思考价值□☆□,培养口独立思考☆☆□□□、合作交流□□□、反思口质疑的习惯☆☆□,感受到问口题研究的乐趣☆□□,喜欢数学□☆□☆☆,喜欢思考☆☆☆☆□。三☆□□□、教学重难点口教口学重点:借助形感受与数之间的关系□□☆☆□,用数形口结合的思想方法解决数学口口问题□☆□☆□。教学难点:体会极限思想□☆☆□□,感悟图形作为口数学思考的价值☆□□☆☆。四□☆□☆□、教学口流程(一)数形互猜活动□☆□□☆,初步感口受口口关联1.依次出示3个图形(见图1□☆☆□☆、图2□☆☆□、图3)☆□☆□。提问:看到它们□☆☆,你能口口想口到口口口哪口个数☆□☆☆□?预设:第1个图口形:5□□☆□☆、15&h口elli口p;&he口口l口口口lip;第2个图形:3.5☆□□□、312&口helli口口p;&hell口i口p;第3个图形:14□□□☆、0.25&口口口he口口口lli口p;&hell口ip;2.再依次口出口口示下面口3个数:提问:看到它☆☆☆☆☆,你又口口口能口想到什么口样的口口图形□□☆?预设:第1个数:半径为2的圆☆□☆□、直径为口4的圆;第2个数:边长为5的正方口形;第3个数:棱长为口6的正口口口方体☆☆□。小结:通过刚才的互猜游口口戏□□□□,看到图形我们能联想到数☆□□,看到数我们口还能联想到图形☆☆□。看来☆☆□□□,数与形之间有一定的紧密口联系☆☆☆□。今天☆□□□,我们就一起来研究数与形口口之口间的奥秘□☆☆□。【设计意图:从图形联想到数☆□☆□□,再从数联想到图形□☆☆☆□,经历抽象&mda口sh;直观互相口解口释的过程☆☆□☆□,初步感受数与形之间的关联☆☆☆☆□,突破数形认知转换的障碍□☆☆☆,为后续数学问题的解决埋下口伏笔□□☆□☆。口☆口口☆口】(二)运算问题解决☆☆□☆☆,建立数与形的关口联☆□□☆☆,感悟数形结口合的数学思考价值1.计算分数加法□☆□□,发现与口应用模口式☆□□。出示12+14☆□□☆□,提问:谁会口算□☆☆□?出示12+14+18☆□☆☆☆,再问:这个呢□☆☆□□?出示口12+14+口18+&helli口p;☆☆☆,追问:如果口继口续口口口加□□☆,你猜接下来会加多少□☆☆□?预设:116□□☆☆☆。追问:你怎口么口看口出来的□☆☆☆□?预设:发现后面一个分数是前面一个口分数的12□□□,所以第四个数应是116□☆☆□□。提问:如果按这个规口律加下去☆☆□,接下来该加多少☆□☆?【设计意图:在分数加口法的计算中□☆☆□,让学生经历发现☆☆□、应用数学模口式(即规律)的过程☆□☆,学生通过观察发现加口数有规律☆□☆,和也有规律☆□☆。在数学口学习口中□☆☆□,要善于发现数(或形)中的规律☆□□□☆,只有发现了口规律☆☆☆,才能进一步应用规律☆□□□。】出示12+14+18+116+132□☆□☆☆,提问:这个算式会口算吗☆☆□□?说说你是怎么算口的□□☆?预设1:通分☆☆☆□☆,1632+832+432+232+132=口3132□☆☆。预设2:发现不口口管怎么口加□□□☆,最后一个分数的分母口减1就是分子☆☆☆。最后一个分数是132☆□□□,结果的分母口是32☆□□,32-1=31□□☆☆□,分子是口口31□□☆,结果口就是3132☆□□。预设3:发现结果与最后一个分数有口关系☆☆☆,都是口1减去最后一个分数☆□☆。原式可以写口成1-口口132□☆☆☆☆,得3132□□☆。预设4:后面的分数依次是前面口分数的12□□☆,可以画图表口示……【设计意图:在寻口找数学模式时☆□☆,不同的学生思考口问题的角度不同□☆□□□,找到的规律也不同☆☆☆。利用若干个数☆☆□□□、式中存在的有限规律□□☆□☆,通过推理得到一般性口的结口论□□☆,再把这一结论应用到所有符合这一模式的情形中去☆□□,这是一种典型的归纳推理的思口想口和方法☆□□☆。本环节设计重在让学生体会这一思路□☆□☆☆。】2.借助图形沟口通分数加减法口的联系□□☆☆☆。课件动态演示□☆☆□☆,如图4☆☆☆☆☆。提问:12+14+18+116+132这个算式在图中表示口的是什么☆☆☆□☆?预设:涂色口部分口口的面口口口积☆□□。提问:1-口132在图中又表示口什么□☆□☆□?预设:1表口示口整个正口方形的面积☆□□☆□,132表示空白部分的面积□☆☆,1-132表示整个口正方形的面积减去口空白部口分的面积☆□□□,也就是涂色部分的面积□☆☆☆。提问:要求涂色部分的面口积可口以怎么算□□☆?预设:1-132☆□☆□☆。【设口口计口意图:借助面积模型图(形口)直观感受口与口数(式)之间的关系☆☆□,体会形与数之間可口以互相表达☆□☆、解释☆□☆☆,在数与形之间建立关联☆□□,在问题解决中初步感悟数形结合的思想方法□☆□,经历数学中几何直观口口的过程□□☆□□,初步体会数形结合的好处☆☆□□☆。】3.感悟极口限思想☆□☆。提问:12+14+18+116+口132这个算口式口还能继续往下加吗□☆☆☆☆?提问:这个算式如口口果口继续口不停地加下口去□☆☆,加不口加得完□☆☆☆□?预设:还能加☆□☆,永远加口不完☆□☆□。提问:12+14+18+116+132+164+…☆☆□☆□,像这样一口口个口加不完的口算式□☆☆,你猜一猜最终的结口果口口会是多少☆□□?预设:n-1n;1-1n;1-12n;1☆☆☆。【设口口口口口计口意图:猜想是数学思考和创新意识培养的必备前提□☆□,让学生联系已有的活动经验经历数学猜想的过程□☆☆,从而提高后续验证的科学口性□☆☆□。】追问:能不口能在学习单上画个图☆□☆□☆,用形口来证明你的口猜想□□☆,把你的思考过程画下来☆□☆。出示口思考题(见口图5):12+14+18+116+132+口164+…要求:(1)先猜一猜和是多少□☆☆□?(2)再尝试用形来解释你的想法□☆□。学生口先独立思考操作☆☆□、解释☆□☆、论证☆□☆□,再小口口口组口口交流☆☆□,教师巡视指导□☆□,与小组学生交流☆□☆,完成快的高效能小组口带着本组的思考成果下座位与其他小组同学交流□☆□☆。【设口计口意图:小组合作学习的前提一定是个体独立思考□□☆□☆。在前期以形助数活动经口验积累的基础上□☆☆□□,出示研究活动学习口单□☆☆,使得无论是能力强还是能力弱的学生都能明确研究对象☆□□、研究任务□□☆☆、有效口的研口究方口法和最终的检查口方式☆□☆□□,进而在独立思考□☆□☆□、小组交流后全口班汇报时☆□☆,组织条理清晰的表述模式和表述语言☆☆□,即儿童个体数学表达结构口的建立☆☆□□☆,这无疑是一次思维的巨口大提升☆☆☆□。】学生反馈—&mdas口h;预设1:正方形图;预设2:圆形图;预设3:长方形图;预设4:线段图□□☆☆□。【设口口计口口口口口口口口口意图:尊重学生多样化的图示论证方法☆□□,尊重学生数形结合的口多口元思维表达方式☆□☆☆□,学生质疑□☆□☆、争论的焦点是图形无限地分下去算式的最终结口口果到底是不是1☆□☆☆,即使有了图形的直观支持☆□□□□,仍有学生对算式的最终口结口果为1这一事实难以理解□□□,这是十分正常的□☆□☆,这也恰恰是极限思口想的精髓☆☆□、数学思考的魅口力所在□☆□。】课件辅口助口演示□☆☆□☆,见图6□☆☆□。提问:式子中减去的1n或12n在图口中表示口的是什么☆□□?预设:空白口部分的面积☆☆□。追问:如果继续往口下口加□□☆☆□,空白部分会怎么样□☆□□☆?预设:空白部分会越来口越小(理解12n无穷小)□□☆。启发:还能否往口下口加□☆☆?如果再继续口无休止地加下去☆□☆□,空白部分最终会怎么样☆☆□?预设:空白部口分最终会被涂色部分口填满☆☆□。引导学口生发现:不停地加下去□☆□□☆,空白部分会越来越小□□☆,小到看口不口见☆☆□☆□,无限接近口于0;涂色部分越来口越大□□☆☆,大到最终充满整个正方形☆□□☆□,结果无口限口接近于1☆☆□□☆。课件继续演示□☆□☆☆,见图7□□□☆。提问:加到口口口132☆□☆□,还要继口续口加吗☆□□?能不能停下口来□☆□☆□?提问:不断口地加口下口去☆□□,这条线段会怎么样□□☆?长到哪里☆☆☆☆☆?预设:线段继续口延长☆☆☆☆,长到最口终充满整条线段☆□☆,结果无限接近于1□☆□☆☆。【设计意图:极限思想是学生理解的口最大难点□□☆。无论是学生独立论证小组交流☆☆□,还是必备的课口件动态演口示□☆☆□,目的是借口助图形口沟通关系☆□□、口☆口口☆口口一目了然☆□□、关注变化☆□□☆,刻画运算连口续性中的变口口口化☆☆□□,即图形中空白口部分与涂色部分的面积的变化□□□,理解无限与无穷小☆□□□,理解变化中无限才能理解有限☆□□☆,从而理解运算的结口果无限接近1□☆☆,让学生在建立关联中感悟这种极限思想☆☆□□□,进而再次深入体会数形结合数学思考的精彩之处☆□□□。】回顾:刚才我们是怎么解决数的运算问题的☆☆□□?小结:我们通过图形发现□□☆☆□,像这口样一个算式1632+832+432+232+132可以转化成口一个简单的算式1-132来算□□□,我们又借助正口口方形图☆☆□☆、线段图☆□☆、圆形图等发现口这样一个无止口口境的口算式☆□☆□,它的最终结果无限接近1☆□□☆☆。启发:借助图形解决数学问题有什么精彩之处□☆☆□?小结:这样复杂的计算如果借助图形来解释就会变得直观☆□☆、简单□☆☆☆。看来数与形的联系非口常口紧密☆□□□,形不但赋予了数实际意义☆☆☆,也给了数鲜活的生命□☆☆。【设计意图:回顾以形助数解决数学问题的意义☆□☆□,体会口图形的力量□☆□□,感受数形口结合思考的价值☆☆☆□,培养口学生归口纳☆☆☆□、概括的数口学能力☆□□☆☆。】(三)唤口口醒链接□□☆,拓展贯通☆☆□☆□,感悟口数形口结合思考的价值过渡:其实□☆☆☆☆,像这口样借助数与形紧密关联口的口方法来解决问题的口情况在我们小学阶段以往的数学学习中并口不陌生☆☆□。回想一下□☆☆□,在哪里口口见过□☆☆☆?举例说明□☆□□。课件依次演口示(见口口图8□☆□☆、图9):小结:有的时候□□□,利用图形来口直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实□□☆□□,让人一目了然☆□□☆☆。比如□□☆□,利用小棒□□□☆、计数器口口模型来口认识口抽口口象的数☆☆□,利用点子图来理解整数乘法口的算理□□☆☆,口☆口口☆口借助线段口图来理解分口数除法的算理□☆☆□☆,借助面积模型来解口释分数乘法的算理☆□□、乘法分配律等☆□☆□☆。【设口计口意图:回顾小口学阶段六年数学学习中用形来解决数的问题☆☆☆□,唤醒以往散落的知识经验的记忆☆□☆□,以成体系☆☆□,感受图形在问题解决中的价口值□☆☆□□,使抽象的数学原理与事实变得直观☆□□、简明□□□,体会数学中不同口表现方式的关系□□□☆,体会口数形结合思考的意义□☆☆□。】提问:有认口口识口的吗□□☆□□?这个公式主口要讲述了一件什么事情☆☆□□?预设:勾股定理□☆☆☆☆,在直角口口三口口角形中☆☆☆□□,两条直角边的平方的和等于斜边的口平方☆☆□。明确:勾股定理也叫毕达哥拉斯定理□☆☆□□,迄今为止☆☆☆□□,存在口口着几百种证明方式□☆☆□□。但有一种不需要语言口的证明□☆□□☆。课件演示(见图11):小结:给三角形加上一点厚度□☆□,从面积问题跳转到了具象的体口积问题☆☆□,这就是图形中的思维变换—&mda口sh;数形结合的力量☆☆☆□。【设计口意图:以勾股口定理为拓展延口伸☆□☆☆□,关注小初数学课程内容中数学思想方法的衔接☆□□☆,链接以前和以后☆☆□☆。在这种不需要口语言的无口声证明口中□☆□☆,再次体口会形的口力量☆□☆☆。】(四)口课堂延伸□□☆☆☆,观看视频□□□☆,感悟数形结合和谐完美的万千口世界引导:数与形之间的联系在数口学世界里是这样的密口不可分□☆□☆☆,其实□☆□,在现实生活中□□☆□□,大自然同样赋予数与形千丝万缕的口口联系☆□□,数与形有机地口结合在一口起□☆☆☆☆,构成了一个和谐口完美的万千世界☆□☆。让我口们一起走进去看看吧☆□□!播放微视频《斐波那契数列—&mdas口h;上帝的指纹》□☆☆,课堂口在学生观看微视频中结口束☆☆□☆□。【设计意口图:通过口斐波那契数列口微视频□□☆□☆,使学生感悟数与形不仅是数学的表现方式☆□☆,也是世界的口存口口在方式☆□□。其中蕴涵的口数学规律□☆☆,支配着自然☆☆☆□,鹦鹉螺的花纹☆□□、人体结口构比例☆□☆、希腊帕特农口神庙口&helli口p;…万千世界无不口遵从数学的规律☆☆□,数与形的有机联系带给世口界以和谐的美感☆□☆□。斐波那契口数是大自然的一个基本模口式☆☆□,它出现在口许多口场合□□☆□。由此□□☆,数学口命题升华为哲学命题☆□□。】(五)学口习效果评价设计1.淘气这样计算5.8&口ti口mes;3+7×4.2☆☆☆□☆,他这口样计算口口对口吗□☆☆□☆?请你试着借助图形解释其是否合理□☆□☆□。5.8&口口tim口es;3+7&time口s;4.2=(5.8+4.2)&t口i口m口口e口s;(3+7)口=10&t口imes;10=100【设计意图:体会借口助图形能够直观简明地解决口运算问题□☆□☆,感受数形结合思考的价值☆□□□□。】2.小兰和口爸爸□□☆□☆、妈妈一起口步行到离家800m远的口公园健身中心☆☆□□,用时20分钟□☆☆。妈妈到了健身中心后直接返回家里☆☆□☆□,还是用了20分口钟☆□☆□☆。小兰和爸爸一起在口健身中心锻炼了10分钟☆□□☆□。然后□□☆,小兰跑步回到家口中□□□,用了口5分口钟□☆□□,而爸爸是走口回家中☆☆☆☆□,用了15分钟☆□☆□☆。下面的图口(图12□☆□□、图13☆□□☆☆、图14)是描述谁口离家的时间和离口家距离的关系☆☆□☆?为什么□□☆☆?【设口口计意口图:体会有时图可以帮助我们直观地解决问题□☆□☆☆,有时候也能帮助口我们用数学的思维口分析口问题☆☆□,理清口题目意思☆☆☆□。】3.(a+b)2=口a2+2ab+b2这个公式叫作完全平方公式☆□☆☆□,你能画口图来解释口这口个公口式吗□☆□?【设口计意图:借助图形来证明完全平方公式□☆☆☆□,感受形口与数之间的关系☆☆□☆□,用数形结合的思想方法解决数学问题□□□☆。】五☆☆□、教后反思首口先□☆□,本课不仅重视了图形作为口数学语言和数学工具所具备的价值□☆□☆☆,更挖掘了图形作为数学思考在问题解口决中的价值☆☆□。将发现□☆□□☆、应用数学模式与借助图形口沟通关系口发展数学思考☆☆□,自然地融合口口在一起□☆□□□,建立口数与形的关联☆□□□□,让学生体会数学思维中几何直观的力量□□☆☆□。其次□□□☆☆,选用的学口习素材☆□☆□☆,能够激口发学生积极思考□☆□,主动寻求图形描述和分析问题的内在需求□☆□□,保证了教学目标的顺利实现□□☆□☆。同时☆□□,唤醒以口往的知識学习过程☆□□□,链接以前□□□☆,衔接以后☆□□□,积累数学口活动中操作的经口验和思维的经验☆□☆☆。体会数与形作为一种存在口方式和表现方式☆☆□□,既是数学的☆□□□□,也是世界的☆□□□☆。第三☆□☆,学生口在本节课口中经历不口断发现□□□,不断创造☆☆□,不断质疑☆☆☆☆,不断收获☆□☆☆,不断口成口功口的口学口口口习过程□□☆□☆,体验数学口思考的力量☆☆□□☆,感受图形作为数学语言□□☆□☆、数学工具☆□☆、数学方法口的价值□☆□□☆。而且☆□□,学生的每口一次思考都口被充分尊重☆□☆,每一次创造都被肯定□☆□☆☆,每一次口口挑战都激起学生追求成功的信念☆□□,保证了数学学习的兴趣☆□☆,让学生喜口欢口数学□□☆、喜欢思考□☆☆。作者:董文彬

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